Tok i cirkulacija vektorskog polja

NNa temelju materijala predavanja Richarda Feynmana

Kada opisujemo zakone elektriciteta u terminima vektorskih polja, suočeni smo s dvije matematički važne značajke vektorskog polja: tok i cirkulacija. Bilo bi lijepo razumjeti što su ti matematički pojmovi i koje je njihovo praktično značenje.

Na drugi dio pitanja lako je odgovoriti odmah jer su koncepti protoka i cirkulacije u središtu Maxwellove jednadžbe, na kojem zapravo počiva sva moderna elektrodinamika.

Tako se, na primjer, zakon elektromagnetske indukcije može formulirati na sljedeći način: kruženje električnog polja E duž zatvorene petlje C jednako je brzini promjene toka magnetskog polja B kroz površinu S ograničenu ovom petlja B.

U nastavku ćemo vrlo jednostavno, koristeći jasne fluidne primjere, opisati kako se karakteristike polja matematički određuju, odakle se te karakteristike polja uzimaju i dobivaju.

Tok vektorskog polja

Za početak nacrtajmo određenu zatvorenu plohu potpuno proizvoljnog oblika oko proučavanog područja. Nakon što smo prikazali tu plohu, pitamo se da li predmet proučavanja, koji nazivamo poljem, teče kroz tu zatvorenu plohu. Da biste razumjeli o čemu se radi, razmotrite jednostavan primjer tekućine.

Recimo da istražujemo polje brzine određene tekućine. Za takav primjer ima smisla pitati: prolazi li više tekućine kroz ovu površinu u jedinici vremena nego što teče u volumen omeđen ovom površinom? Drugim riječima, je li brzina odljeva uvijek prvenstveno usmjerena iznutra prema van?

Izrazom "fluks vektorskog polja" (a za naš primjer izraz "fluks brzine fluida" bit će točniji), složit ćemo se da nazovemo ukupnu količinu imaginarne tekućine koja teče kroz površinu razmatranog volumena omeđenog zadanim a zatvorena površina (za brzinu protoka tekućine, koliko tekućine slijedi iz volumena po jedinici vremena).

Kao rezultat toga, tok kroz element površine bit će jednak umnošku površine elementa površine s okomitom komponentom brzine. Tada će ukupni (totalni) fluks po cijeloj površini biti jednak umnošku prosječne normalne komponente brzine, koju ćemo računati iznutra prema van, s ukupnom površinom.

Sada se vratimo na električno polje. Električno polje se, naravno, ne može smatrati brzinom protoka neke tekućine, ali imamo pravo uvesti matematički koncept protoka, sličan onome što smo gore opisali kao protok brzine tekućine.

Samo u slučaju električnog polja, njegov se tok može odrediti prosječnom normalnom komponentom jakosti električnog polja E. Osim toga, tok električnog polja može se odrediti ne nužno kroz zatvorenu površinu, već kroz bilo koju ograničenu površinu nenulte površine S .

Kruženje vektorskog polja

Svima je dobro poznato da se radi veće jasnoće polja mogu prikazati u obliku takozvanih linija sile, u čijoj se svakoj točki smjer tangente podudara sa smjerom jakosti polja.

Vratimo se analogiji fluida i zamislimo polje brzina fluida.Postavimo si pitanje: cirkulira li fluid? Odnosno, kreće li se prvenstveno u smjeru neke zamišljene zatvorene petlje?

Za veću jasnoću, zamislite da se tekućina u velikom spremniku nekako kreće (slika A) i mi smo iznenada zamrznuli gotovo cijeli njezin volumen, ali smo uspjeli ostaviti volumen nezamrznut u obliku jednoliko zatvorene cijevi u kojoj nema trenje tekućine o stijenke (sl. b).

Izvan ove cijevi tekućina se pretvorila u led i stoga se više ne može kretati, ali unutar cijevi tekućina može nastaviti svoje kretanje, pod uvjetom da postoji prevladavajući moment koji je pokreće, na primjer, u smjeru kazaljke na satu (Sl. .°C). Tada ćemo umnožak brzine tekućine u cijevi i duljine cijevi nazvati cirkulacijom brzine tekućine.

Slično, možemo definirati cirkulaciju za vektorsko polje, iako se opet ne može reći da je polje brzina bilo čega, svejedno možemo definirati matematičku karakteristiku "cirkulacije" duž konture.

Dakle, kruženje vektorskog polja duž zamišljene zatvorene petlje može se definirati kao umnožak prosječne tangencijalne komponente vektora u smjeru prolaska petlje — s duljinom petlje.