Osnove i zakoni algebre logike
Irski matematičar iz sredine 19. stoljeća George Bull razvio algebru logike ("Proučavanje zakona mišljenja"). Stoga se naziva i algebra logike Booleova algebra.
Davanjem slovnih oznaka, izražavanjem operacija logičkih transformacija u simbolima radnji i korištenjem pravila i aksioma uspostavljenih za te radnje, algebra logike omogućuje da se proces zaključivanja u rješavanju problema danog u smislu logike iskaza u potpunosti opiše u algoritmima , odnosno imati matematički napisan program koji rješava ovaj problem.
Za označavanje istinitosti ili netočnosti izjava (to jest, za uvođenje vrijednosti za procjenu izjava), algebra logike koristi binarni sustav, prikladan u ovom slučaju. Ako je iskaz točan, ima vrijednost 1, ako je lažan, ima vrijednost 0. Za razliku od binarnih brojeva, logičke 1 i 0 ne izražavaju količinu, već stanje.
Dakle, u električnim krugovima opisanim pomoću Booleove algebre, gdje je 1 prisutnost napona, a 0 njegova odsutnost, dovod napona iz nekoliko izvora u jedan čvor kruga (to jest, dolazak nekoliko njegovih logičkih jedinica) je također se prikazuje kao logička jedinica koja ne označava ukupni napon u čvoru, već samo njegovu prisutnost.
Pri opisivanju ulaznih i izlaznih signala logičkih sklopova koriste se varijable koje poprimaju vrijednosti samo logičke 0 ili 1. Određuje se ovisnost izlaznih signala o ulazu logička operacija (funkcija)… Označimo ulazne varijable s X1 i X2, a izlaz dobiven logičkom operacijom nad njima s y.
Razmisli o tome tri osnovne elementarne logičke operacije, uz pomoć kojih se mogu opisati sve složeniji.
1. Operacija ILI — logično zbrajanje:
S obzirom na sve moguće vrijednosti varijabli, može se definirati operacija ILI kao dostatnost barem jedne jedinice na ulazu da proizvede jednu na izlazu. Naziv operacije objašnjen je semantičkim značenjem unije ILI u izrazu: «Ako je ILI jedan ulaz ILI drugi je jedan, tada je izlaz jedan.»
2. Operacija I — logičko množenje:
Uzimajući u obzir puni skup vrijednosti varijabli, operacija AND definirana je kao potreba za spajanjem svih jedinica na ulazima da bi se dobila jedinica na izlazu: “Ako je AND jedan ulaz, a drugi su jedinice, tada izlaz je jedan. «
3. Operacija NOT — logička negacija ili inverzija. Označeno je trakom iznad varijable.
Kada je obrnuto, vrijednost varijable je obrnuta.
Osnovni zakoni logičke algebre:
1. Zakon nulte skupine: umnožak bilo kojeg broja varijabli nestaje ako je bilo koja od varijabli nula, bez obzira na vrijednosti drugih varijabli:
2. Zakon univerzalnog skupa — zbroj bilo kojeg broja varijabli postaje jedan ako barem jedna od varijabli ima vrijednost jedan, bez obzira na ostale varijable:
3. Zakon ponavljanja — ponovljene varijable u izrazu mogu se izostaviti (drugim riječima, u Booleovoj algebri ne postoji potenciranje i množenje numeričkim koeficijentom):
4. Zakon dvostruke inverzije — inverzija izvedena dvaput je prazna operacija:
5. Zakon komplementarnosti — umnožak svake varijable i njenog inverza je nula:
6. Zbroj svake varijable i njene recipročne vrijednosti je jedan:
7. Zaštitni zakoni — rezultat izvođenja operacija množenja i zbrajanja ne ovisi o redoslijedu kojim slijede varijable:
8. Kombinirani zakoni — tijekom operacija množenja i zbrajanja, varijable se mogu grupirati bilo kojim redoslijedom:
9. Zakoni raspodjele — dopušteno je staviti ukupni koeficijent izvan zagrada:
10. Zakoni apsorpcije — navesti načine pojednostavljenja izraza koji uključuju varijablu u svim faktorima i terminima:
11. De Morganovi zakoni — inverzija umnoška je zbroj inverzija varijabli:
inverzija zbroja je umnožak inverzija varijabli:
