Zakoni algebre kontaktnih krugova, Booleova algebra

Analitički zapis strukture i radnih uvjeta relejnih sklopova omogućuje izvođenje analitičkih ekvivalentnih transformacija krugova, odnosno transformacijom strukturnih formula pronalaženje shema sličnih u njihovom radu. Metode pretvorbe posebno su u potpunosti razvijene za strukturne formule koje izražavaju kontaktne krugove.

Za kontaktne sklopove koristi se matematički aparat algebre logike, točnije jedna od njezinih najjednostavnijih varijanti, nazvana propozicijski račun ili Booleova algebra (prema matematičaru prošlog stoljeća J. Booleu).

Iskazni je račun izvorno razvijen za proučavanje ovisnosti (istinitosti ili lažnosti složenih sudova o istinitosti ili netočnosti jednostavnih iskaza koji ih sačinjavaju. U biti, iskazni je račun algebra dvaju brojeva, to jest algebra u pri čemu svaki pojedinačni argument i svaka funkcija mogu imati jednu od dvije vrijednosti.

Ovo određuje mogućnost korištenja Booleove algebre za transformaciju kontaktnih krugova, budući da svaki od argumenata (kontakata) uključenih u strukturnu formulu može imati samo dvije vrijednosti, odnosno može biti zatvoren ili otvoren, a cijela funkcija predstavljena strukturnim formula može izražavati ili zatvorenu ili otvorenu petlju.

Booleova algebra uvodi:

1) objekti koji, kao i u običnoj algebri, imaju imena: nezavisne varijable i funkcije — međutim, za razliku od obične algebre, u Booleovoj algebri obje mogu imati samo dvije vrijednosti: 0 i 1;

2) osnovne logičke operacije:

• logičko zbrajanje (ili disjunkcija, logičko ILI, označeno znakom ?), koje se definira na sljedeći način: rezultat operacije je 0 ako i samo ako su svi argumenti operacije jednaki 0, inače je rezultat 1;

• logičko množenje (ili ulančavanje, logičko I, označeno s ?, ili uopće nije navedeno) koje je definirano na sljedeći način: rezultat operacije je 1 ako i samo ako su svi argumenti operacije jednaki 1, inače rezultat je 0;

• negacija (ili obrnuto, logičko NE, naznačeno crticom iznad argumenta), koja je definirana na sljedeći način: rezultat operacije ima suprotnu vrijednost od argumenta;

3) aksiomi (zakoni Booleove algebre), koji definiraju pravila za transformaciju logičkih izraza.

Imajte na umu da se svaka od logičkih operacija može izvesti i na varijablama i na funkcijama, koje ćemo u nastavku zvati Booleove funkcije... Podsjetimo se da, analogno običnoj algebri, u Booleovoj algebri operacija logičkog množenja ima prednost pred logičkim operacija zbrajanja.

Booleovi izrazi formiraju se kombiniranjem logičkih operacija na brojnim objektima (varijablama ili funkcijama), koji se nazivaju argumentima operacije.

Transformacija logičkih izraza pomoću zakona Booleove algebre obično se provodi s ciljem minimiziranja, jer što je izraz jednostavniji, to je manja složenost logičkog lanca, što je tehnička implementacija logičkog izraza.

Zakoni Booleove algebre predstavljeni su kao skup aksioma i posljedica. Oni se mogu jednostavno provjeriti zamjenom različitih vrijednosti varijabli.

Tehnički analog bilo kojeg logičkog izraza za Booleovu funkciju je logički dijagram... U ovom slučaju, varijable o kojima ovisi Booleova funkcija povezane su s vanjskim ulazima ovog sklopa, vrijednost Booleove funkcije formira se na vanjski izlaz sklopa, a svaka logička operacija u logičkom izrazu implementirana je logičkim elementom.

Dakle, za svaki skup ulaznih signala na izlazu logičkog sklopa generira se signal koji odgovara vrijednosti booleove funkcije ovog skupa varijabli (u nastavku ćemo koristiti sljedeću konvenciju: 0 — niska razina signala , 1 — visoka razina signala).

Kada konstruiramo logičke sklopove, pretpostavit ćemo da se varijable šalju na ulaz u parafaznom kodu (to jest, dostupne su i izravne i inverzne vrijednosti varijabli).

Tablica 1 prikazuje konvencionalne grafičke oznake nekih logičkih elemenata u skladu s GOST 2.743-91, kao i njihove inozemne kolege.

Osim elemenata koji izvode tri operacije Booleove algebre (I, ILI, NE), u tab. 1 prikazuje elemente koji izvode operacije izvedene iz glavnog:

— I -NE — negacija logičkog množenja, također nazvana Schaeferov potez (označeno s |)

— ILI -NE — negacija logičkog komplementa, također nazvana Peirceova strelica (označena s ?)

Serijskim povezivanjem logičkih vrata zajedno, možete implementirati bilo koju Booleovu funkciju.

Strukturne formule koje izražavaju relejne krugove općenito, tj. koje sadrže simbole reagirajućih orlova, ne mogu se smatrati funkcijama dviju vrijednosti koje izražavaju samo zatvoren ili otvoren krug. Stoga se pri radu s takvim funkcijama pojavljuje niz novih ovisnosti koje nadilaze granice Booleove algebre.

U Booleovoj algebri postoje četiri para osnovnih zakona: dva pomačka, dva kombinatorna, dva distributivna i dva legalna inverzija. Ovi zakoni uspostavljaju ekvivalentnost različitih izraza, to jest, oni razmatraju izraze koji se mogu međusobno zamijeniti poput zamjene identiteta u običnoj algebri. Kao simbol ekvivalencije uzimamo simbol koji je isti kao simbol jednakosti u običnoj algebri (=).

Valjanost zakona Booleove algebre za kontaktne sklopove utvrdit će se razmatranjem sklopova koji odgovaraju lijevoj i desnoj strani ekvivalentnih izraza.

Zakoni o putovanju

Za zbrajanje: x + y = y + x

Sheme koje odgovaraju ovim izrazima prikazane su na sl. 1, a.

Lijevi i desni krug su normalno otvoreni krugovi, od kojih se svaki zatvara kada se aktivira jedan od elemenata (X ili Y), odnosno ovi su krugovi ekvivalentni. Za množenje: x ·y = y ·NS.

Sheme koje odgovaraju ovim izrazima prikazane su na sl. 1b, njihova je istovjetnost također očita.

Riža. 1

Zakoni kombinacije

Za zbrajanje: (x + y) + z = x + (y + z)

Za množenje: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Parovi ekvivalentnih sklopova koji odgovaraju ovim izrazima prikazani su na sl. 2, a, b

Riža. 2

Zakoni raspodjele

Množenje naspram zbrajanja: (x + y) +z = x + (y + z)

Zbrajanje protiv množenja. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Sheme koje odgovaraju ovim izrazima prikazane su na sl. 3, a, b.

Riža. 3.

Ekvivalentnost ovih shema može se lako provjeriti razmatranjem različitih kombinacija aktiviranja kontakta.

Zakoni inverzije

Na zbrajanje: NS + c = NS·c

Crtica iznad lijeve strane izraza je znak negacije ili inverzije. Ovaj znak označava da cijela funkcija ima suprotno značenje u odnosu na izraz ispod znaka negacije. Nije moguće nacrtati dijagram koji odgovara cijeloj inverznoj funkciji, ali se može nacrtati dijagram koji odgovara izrazu pod negativnim predznakom. Dakle, formula se može ilustrirati dijagramima prikazanim na sl. 4, a.

Riža. 4.

Lijevi dijagram odgovara izrazu x + y, a desni NS ·c

Ova dva kruga su suprotna jedan drugome u radu, naime: ako je lijevi krug s nepobuđenim elementima X, Y otvoren krug, onda je desni krug zatvoren. Ako se u lijevom krugu, kada se aktivira jedan od elemenata, krug zatvara, au desnom krugu, naprotiv, otvara se.

Kako je po definiciji negativnog predznaka funkcija x + y inverzna funkciji x + y, onda je očito da je x + y = NS·in.

Što se tiče množenja: NS · c = NS + c

Odgovarajuće sheme prikazane su na sl. 4, b.

Translokativni i kombinacijski te zakoni i distributivni zakon množenja s obzirom na zbrajanje (odgovaraju sličnim zakonima obične algebre).Stoga, u slučaju transformacije strukturnih formula u redoslijedu zbrajanja i množenja članova, postavljanja izraza izvan zagrada i širenja zagrada, možete slijediti pravila utvrđena za rad s običnim algebarskim izrazima. Distributivni zakon zbrajanja u odnosu na množenje i zakoni inverzije specifični su za Booleovu algebru.