Biot-Savartov zakon i teorem o cirkulaciji vektora magnetske indukcije

Godine 1820. francuski znanstvenici Jean-Baptiste Biot i Félix Savard, tijekom zajedničkih pokusa proučavanja magnetskih polja istosmjernih struja, nedvojbeno su utvrdili da se magnetska indukcija istosmjerne struje koja teče kroz vodič može smatrati rezultatom opće djelovanje svih dijelova ove žice s strujom. To znači da se magnetsko polje pokorava principu superpozicije (principu superpozicije polja).

Magnetsko polje koje stvara skupina istosmjernih žica ima sljedeće magnetska indukcijada je njegova vrijednost definirana kao vektorski zbroj magnetskih indukcija koje stvara svaki vodič posebno. To jest, indukcija B vodiča istosmjerne struje može se pošteno prikazati vektorskim zbrojem elementarnih indukcija dB koje pripadaju elementarnim dionicama dl razmatranog vodiča istosmjerne struje I.

Praktično je nerealno izolirati elementarni dio vodiča istosmjerne struje, jer D.C. uvijek zatvoreno.Ali možete izmjeriti ukupnu magnetsku indukciju koju stvara žica, odnosno koju stvaraju svi elementarni dijelovi date žice.

Dakle, Biot-Sovarov zakon omogućuje vam da pronađete vrijednost magnetske indukcije B odsječka (poznate duljine dl) vodiča, s danom istosmjernom strujom I, na određenoj udaljenosti r od ovog odsječka vodiča i u određeni smjer promatranja iz odabranog presjeka (postavljen kroz sinus kuta između smjera struje i smjera iz presjeka vodiča na ispitivanu točku u prostoru u blizini vodiča):

Eksperimentalno je utvrđeno da se smjer vektora magnetske indukcije lako određuje desnim vijkom ili pravilom kardana: ako se smjer translatornog gibanja kardana tijekom njegove rotacije podudara sa smjerom istosmjerne struje I u žici, tada smjer rotacije kardanske ručke određuje smjer vektora magnetske indukcije B koju stvara određena struja.

Magnetsko polje ravne žice kojom teče struja, kao i ilustracija primjene Bio-Savartova zakona na nju, prikazani su na slici:

Dakle, ako integriramo, odnosno zbrojimo, doprinos svakog od malih odsječaka vodiča stalne struje ukupnom magnetskom polju, dobivamo formulu za pronalaženje magnetske indukcije strujnog vodiča na određenom polumjeru R iz njega .

Na isti način, koristeći Bio-Savardov zakon, možete izračunati magnetske indukcije od istosmjernih struja različitih konfiguracija i na određenim točkama u prostoru, na primjer, magnetska indukcija u središtu kružnog kruga sa strujom nalazi se pomoću sljedeća formula:

Smjer vektora magnetske indukcije lako se nalazi prema pravilu gimbala, samo što se sada gimbal mora rotirati u smjeru zatvorene struje, a kretanje kardana prema naprijed pokazat će smjer vektora magnetske indukcije.

Često se izračuni s obzirom na magnetsko polje mogu pojednostaviti ako uzmemo u obzir simetriju konfiguracije struja koju daje generirajuće polje. Ovdje možete koristiti teorem o cirkulaciji vektora magnetske indukcije (kao Gaussov teorem u elektrostatici). Što je "kruženje vektora magnetske indukcije"?

Izaberimo u prostoru određenu zatvorenu petlju proizvoljnog oblika i uvjetno naznačimo pozitivan smjer njezina kretanja.Za svaku točku te petlje možete pronaći projekciju vektora magnetske indukcije B na tangentu petlje u toj točki. Tada je zbroj umnožaka ovih veličina s elementarnim duljinama svih dijelova konture kruženje vektora magnetske indukcije B duž ove konture:

Praktično sve struje koje ovdje stvaraju opće magnetsko polje mogu ili prodrijeti u krug koji se razmatra, ili neke od njih mogu biti izvan njega. Prema teoremu o cirkulaciji: cirkulacija vektora magnetske indukcije B istosmjernih struja u zatvorenoj petlji brojčano je jednaka umnošku magnetske konstante mu0 sa zbrojem svih istosmjernih struja koje prolaze kroz petlju. Ovaj teorem je formulirao Andre Marie Ampere 1826. godine:

Razmotrite gornju sliku. Ovdje struje I1 i I2 prodiru u krug, ali su usmjerene u različitim smjerovima, što znači da imaju uvjetno različite znakove.Pozitivan predznak imat će struja čiji se smjer magnetske indukcije (prema osnovnom pravilu) poklapa sa smjerom premosnice odabranog kruga. Za ovu situaciju, teorem o cirkulaciji ima oblik:

Općenito, teorem za kruženje vektora magnetske indukcije B slijedi iz principa superpozicije magnetskog polja i Biot-Savardovog zakona.

Na primjer, izvodimo formulu za magnetsku indukciju vodiča istosmjerne struje. Izaberimo konturu u obliku kruga, kroz čije središte prolazi ova žica, a žica je okomita na ravninu konture.

Tako središte kružnice leži neposredno u središtu vodiča, odnosno u vodiču. Budući da je slika simetrična, vektor B je usmjeren tangencijalno na kružnicu, pa je stoga njegova projekcija na tangentu posvuda ista i jednaka je duljini vektora B. Teorem o cirkulaciji piše na sljedeći način:

Stoga slijedi formula za magnetsku indukciju ravnog vodiča s istosmjernom strujom (ova je formula već navedena gore). Slično, korištenjem teorema o cirkulaciji, lako se mogu pronaći magnetske indukcije simetričnih istosmjernih konfiguracija gdje je sliku linija polja lako vizualizirati.

Jedan od praktično važnih primjera primjene teorema o cirkulaciji je pronalaženje magnetskog polja unutar toroidalnog induktora.

Pretpostavimo da postoji toroidna zavojnica namotana krug-na-krug na kartonskom okviru u obliku krafne s brojem zavoja N. U ovoj konfiguraciji, linije magnetske indukcije zatvorene su unutar krafne i koncentrične su (jedna unutar druge) kružnice u obliku .

Ako pogledate u smjeru vektora magnetske indukcije duž unutarnje osi krafne, ispada da je struja usmjerena posvuda u smjeru kazaljke na satu (prema pravilu gimbala). Razmotrite jednu od linija (prikazanih crveno) magnetske indukcije unutar zavojnice i odaberite je kao kružnu petlju radijusa r. Tada je teorem o cirkulaciji za dati krug napisan na sljedeći način:

A magnetska indukcija polja unutar zavojnice bit će jednaka:

Za tanku toroidalnu zavojnicu, gdje je magnetsko polje gotovo jednoliko po cijelom poprečnom presjeku, moguće je napisati izraz za magnetsku indukciju kao za beskonačno dug solenoid, uzimajući u obzir broj zavoja po jedinici duljine - n :

Razmotrimo sada beskonačno dugačak solenoid u kojem je magnetsko polje potpuno unutra. Na odabranu pravokutnu konturu primjenjujemo teorem o cirkulaciji.

Ovdje će vektor magnetske indukcije dati projekciju različitu od nule samo na strani 2 (njegova duljina je jednaka L). Pomoću parametra n — «broj zavoja po jedinici duljine» dobivamo takav oblik teorema o cirkulaciji, koji se u konačnici svodi na isti oblik kao za višetonsku toroidalnu zavojnicu: