Zašto se kompleksni brojevi koriste za proračune u strujnim krugovima izmjenične struje

Kao što znate, kompleksni brojevi se koriste za rješavanje nekih tipičnih problema u elektrotehnici. Ali čemu oni služe i zašto se to radi na ovaj način? To je ono što ćemo pokušati razumjeti u tijeku ovog članka. Činjenica je da je složena metoda ili metoda složenih amplituda prikladna za proračun složenih krugova izmjenične struje. I za početak, podsjetimo se nekih osnova matematike:

Kao što vidite, kompleksni broj z uključuje imaginarni i realni dio koji se međusobno razlikuju i različito označavaju u tekstu. Sam kompleksni broj z može se napisati u algebarskom, trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:

Povijesna pozadina

Vjeruje se da je ideja o imaginarnim brojevima nastala 1545. godine, kada je talijanski matematičar, inženjer, filozof, liječnik i astrolog Girolamo Cardano objavio ovu metodu rješavanja jednadžbi u svojoj raspravi "Velika umjetnost", gdje je, među ostalim, , priznao je da mu je Niccolò dao ideju Tartaglii (talijanskom matematičaru) 6 godina prije objave ovog djela. Kradano u svom radu rješava jednadžbe oblika:

U procesu rješavanja ovih jednadžbi, znanstvenik je bio prisiljen priznati postojanje nekog «nestvarnog» broja, čiji će kvadrat biti jednak minus jedan «-1», to jest, kao da postoji kvadratni korijen iz negativan broj, a ako ga sada kvadriramo, ispostavit će se da je odgovarajući negativni broj ispod korijena. Cardano je naveo pravilo množenja, prema kojem:

Tri stoljeća matematička zajednica bila je u procesu navikavanja na novi pristup koji je predložio Cardano. Imaginarni brojevi postupno puštaju korijenje, no matematičari ih nerado prihvaćaju. Tek objavljivanjem Gaussovih radova o algebri, u kojima je dokazao temeljni teorem algebre, konačno su kompleksni brojevi bili u potpunosti prihvaćeni, 19. stoljeće je bilo pred vratima.

Imaginarni brojevi postali su pravi spas za matematičare jer su najsloženiji problemi postali puno lakši za rješavanje prihvaćanjem postojanja imaginarnih brojeva.

Tako je ubrzo došlo i do elektrotehnike. Strujni krugovi izmjenične struje ponekad su bili vrlo složeni i morali su se izračunati mnogi integrali da bi se oni izračunali, što je često bilo vrlo nezgodno.

Konačno, 1893. godine briljantni inženjer elektrotehnike Carl August Steinmetz govorio je u Chicagu na Međunarodnom elektrotehničkom kongresu s izvješćem "Kompleksni brojevi i njihova primjena u elektrotehnici", što je zapravo označilo početak praktične primjene inženjera kompleksne metode proračun električnih krugova za izmjeničnu struju.

To znamo iz kolegija fizike naizmjenična struja — ovo je struja koja se tijekom vremena mijenja i po veličini i po smjeru.

U tehnici postoje različiti oblici izmjenične struje, ali danas je najzastupljenija izmjenična sinusna struja, to je ono što se svugdje koristi, uz pomoć koje se prenosi električna energija, u obliku izmjenične struje, koja se stvara, pretvara transformatora i troše ga tereti. Sinusoidna struja se periodički mijenja prema sinusoidalnom (harmonijskom) zakonu.

Efektivne vrijednosti struje i napona manje su od vrijednosti amplitude korijena dva puta:

U složenoj metodi, efektivne vrijednosti struja i napona zapisane su na sljedeći način:

Imajte na umu da se u elektrotehnici imaginarna jedinica označava slovom «j», jer se ovdje već koristi slovo «i» za označavanje struje.

Iz Ohmov zakon određuje kompleksnu vrijednost otpora:

Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih vrijednosti vrši se u algebarskom obliku, a množenje i dijeljenje u eksponencijalnom obliku.

Razmotrimo metodu složenih amplituda na primjeru specifičnog kruga s određenim vrijednostima glavnih parametara.

Primjer rješavanja zadatka pomoću kompleksnih brojeva

dano:

• napon svitka 50 V,

• otpor otpornika 25 Ohma,

• induktivnost zavojnice 500 mH,

• električni kapacitet kondenzatora je 30 mikrofarada,

• otpor zavojnice 10 Ohma,

• mrežna frekvencija 50 Hz.

Pronađite: očitanja ampermetra i voltmetra kao i vatmetra.

Odgovor:

Za početak zapišemo kompleksni otpor serijski spojenih elemenata koji se sastoji od realnog i imaginarnog dijela, zatim nađemo kompleksni otpor aktivno-induktivnog elementa.

Sjećanje! Da biste dobili eksponencijalni oblik, pronađite modul z jednak kvadratnom korijenu zbroja kvadrata stvarnog i imaginarnog dijela, a phi jednak arktangensu kvocijenta imaginarnog dijela podijeljenog sa stvarnim dijelom.

Zatim nalazimo struju i, prema tome, očitanja ampermetra:

Dakle, ampermetar pokazuje struju od 0,317 A—to je struja kroz cijeli serijski krug.

Sada ćemo pronaći kapacitivni otpor kondenzatora, a zatim ćemo odrediti njegov kompleksni otpor:

Zatim izračunavamo ukupnu kompleksnu impedanciju ovog kruga:

Sada nalazimo efektivni napon primijenjen na krug:

Voltmetar će pokazati efektivni napon od 19,5 volti.

Konačno, nalazimo snagu koju će vatmetar prikazati, uzimajući u obzir faznu razliku između struje i napona

Vatmetar će pokazati 3,51 vat.

Sada shvaćate koliko su složeni brojevi važni u elektrotehnici. Koriste se za prikladan proračun električnih krugova. Mnogi elektronički mjerni uređaji rade na istoj osnovi.