Sustavi brojeva

Brojevni sustav skup je pravila za predstavljanje brojeva pomoću različitih brojčanih znakova. Brojevni sustavi se dijele na dvije vrste: nepozicijske i pozicijske.

U pozicijskim brojevnim sustavima vrijednost svake znamenke ne ovisi o poziciji koju zauzima, odnosno o mjestu koje zauzima u skupu znamenki. U sustavu rimskih brojeva postoji samo sedam znamenki: jedan (I), pet (V), deset (X), pedeset (L), sto (C), petsto (D), tisuću (M). Pomoću ovih brojeva (simbola) zbrajanjem i oduzimanjem zapisuju se preostali brojevi. Na primjer, IV je zapis broja 4 (V — I), VI je broj 6 (V + I) i tako dalje. Broj 666 zapisan je u rimskom sustavu na sljedeći način: DCLXVI.

Ova notacija je manje prikladna od one koju trenutno koristimo. Ovdje je šest napisano jednim simbolom (VI), šest desetica drugim (LX), šest stotina trećim (DC). Vrlo je teško izvoditi aritmetičke operacije s brojevima napisanim u sustavu rimskih brojeva. Također, uobičajeni nedostatak nepozicijskih sustava je složenost predstavljanja dovoljno velikih brojeva u njima tako da rezultiraju izuzetno glomaznom notacijom.

Sada razmotrite isti broj 666 u pozicijskom brojevnom sustavu. U njemu pojedinačni znak 6 označava broj jedinica ako je na posljednjem mjestu, broj desetica ako je na pretposljednjem mjestu, a broj stotina ako je na trećem mjestu od kraja. Ovaj princip zapisivanja brojeva naziva se položajnim (lokalnim). U takvom zapisu svaka znamenka dobiva brojčanu vrijednost ovisno ne samo o svom stilu, već i o tome gdje se nalazi kada je broj napisan.

U pozicijskom brojevnom sustavu bilo koji broj predstavljen kao A = +a1a2a3 … ann-1an može se prikazati kao zbroj

gdje je n — konačan broj znamenki u slici broja, ii broj i-go znamenka, d — baza brojevnog sustava, i — redni broj kategorije, dm-i — "težina" i-ro kategorije . Znamenke ai moraju zadovoljiti nejednakost 0 <= a <= (d — 1).

Za decimalni zapis, d = 10 i ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Budući da se brojevi koji se sastoje od jedinica i nula mogu percipirati kao decimalni ili binarni brojevi kada se koriste zajedno, obično se navodi baza brojevnog sustava, na primjer (1100)2-binarni, (1100)10-decimalni.

U digitalnim računalima naširoko se koriste i drugi sustavi osim decimalnog: binarni, oktalni i heksadecimalni.

Binarni sustav

Za ovaj sustav d = 2 i ovdje su dopuštene samo dvije znamenke, tj. ai = 0 ili 1.

Bilo koji broj izražen u binarnom sustavu predstavlja se kao zbroj umnoška potencije baze dva puta binarne znamenke danog bita. Na primjer, broj 101,01 može se napisati ovako: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, što odgovara broju u decimalnom sustavu: 4 + 1 + 0,25 = 5.25.

U većini modernih digitalnih računala binarni brojevni sustav koristi se za predstavljanje brojeva u stroju i izvođenje aritmetičkih operacija nad njima.

Binarni brojevni sustav, u usporedbi s decimalnim, omogućuje pojednostavljenje sklopova i sklopova aritmetičkog uređaja i memorijskog uređaja te povećanje pouzdanosti računala. Znamenka svakog bita binarnog broja predstavljena je stanjima «uključeno / isključeno» takvih elemenata kao što su tranzistori, diode, koji pouzdano rade u stanjima «uključeno / isključeno». Nedostaci binarnog sustava uključuju potrebu prevođenja prema posebnom programu izvornih digitalnih podataka u binarni brojevni sustav i rezultata odluke u decimalni.

Oktalni brojevni sustav

Ovaj sustav ima bazu d == 8. Brojevi se koriste za predstavljanje brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Oktalni brojevni sustav koristi se u računalu kao pomoć pri pripremi problema za rješavanje (u procesu programiranja), pri provjeri rada stroja i kod otklanjanja pogrešaka u programu. Ovaj sustav daje kraći prikaz broja nego binarni sustav. Oktalni sustav brojeva omogućuje jednostavno prebacivanje na binarni sustav.

Heksadekadski brojevni sustav

Ovaj sustav ima bazu d = 16. Za predstavljanje brojeva koristi se 16 znakova: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F i znakovi A … F predstavljaju decimalne brojeve 10, 11, 12, 13, 14 i 15. Heksadecimalni broj (1D4F) 18 će odgovarati decimalnom 7503 jer je (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Heksadecimalni zapis omogućuje zapis binarnih brojeva kompaktnije od oktalnih. Nalazi primjenu u ulaznim i izlaznim uređajima i uređajima za prikaz reda brojeva nekih računala.

Binarno-decimalni brojevni sustav

Predstavljanje brojeva u binarno-decimalnom sustavu je kako slijedi. Za osnovu se uzima decimalni zapis broja, a zatim se svaka njegova znamenka (od 0 do 9) zapisuje u obliku četveroznamenkastog binarnog broja koji se zove tetrada, odnosno ne koristi se jedan znak za predstavljanje svaka znamenka decimalnog sustava, ali četiri.

Na primjer, decimalni broj 647,59 odgovarao bi BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Binarno-decimalni brojevni sustav koristi se kao međubrojni sustav i za kodiranje ulaznih i izlaznih brojeva.

Pravila za prijenos jednog brojevnog sustava u drugi

Razmjena informacija između računalnih uređaja provodi se uglavnom preko brojeva predstavljenih u binarnom brojevnom sustavu. Međutim, informacije se korisniku prikazuju u brojevima u decimalnom sustavu, a adresiranje naredbi u oktalnom sustavu. Otuda i potreba prijenosa brojeva iz jednog sustava u drugi u procesu rada s računalom. Da biste to učinili, upotrijebite sljedeće opće pravilo.

Za pretvaranje cijelog broja iz bilo kojeg brojevnog sustava u drugi, potrebno je taj broj uzastopno dijeliti s bazom novog sustava sve dok kvocijent ne bude manji od djelitelja. Broj se u novom sustavu mora pisati u obliku ostataka dijeljenja, počevši od zadnjeg, odnosno s desna na lijevo.

Na primjer, pretvorimo decimalni broj 1987 u binarni:

Decimalni broj 1987 u binarnom obliku je 11111000011, tj. (1987)10 = (11111000011)2

Pri prelasku iz bilo kojeg sustava u decimalni, broj se predstavlja kao zbroj potencija baze s pripadajućim koeficijentima, a zatim se izračunava vrijednost zbroja.

Na primjer, pretvorimo oktalni broj 123 u decimalni: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, tj. (123)8 = (83)10

Za prijenos razlomaka broja iz bilo kojeg sustava u drugi potrebno je izvršiti uzastopno množenje ovog razlomka i dobivenih razlomaka umnoška na temelju novog brojevnog sustava. Razlomački dio broja u novom sustavu formira se u obliku cijelih dijelova dobivenih proizvoda, počevši od prvog. Proces množenja se nastavlja sve dok se ne izračuna broj sa zadanom preciznošću.

Na primjer, pretvorimo decimalni razlomak 0,65625 u binarni brojevni sustav:

Budući da se razlomački dio petog umnoška sastoji samo od nula, daljnje množenje je nepotrebno. To znači da se dani decimalni broj bez greške pretvara u binarni, tj. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog u binarni i obrnuto nije teško. To je zato što njihove baze (d — 8 i d — 16) odgovaraju cijelim brojevima od dva (23 = 8 i 24 = 16).

Da biste oktalne ili heksadecimalne brojeve pretvorili u binarne, dovoljno je svaki njihov broj zamijeniti troznamenkastim, odnosno četveroznamenkastim binarnim brojem.

Na primjer, prevedimo oktalni broj (571)8 i heksadecimalni broj (179)16 u binarni brojevni sustav.

U oba slučaja dobivamo isti rezultat, tj. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Da biste pretvorili broj iz binarnog decimalnog u decimalni, trebate zamijeniti svaku tetradu broja predstavljenog u binarnom decimalnom znamenkom predstavljenom u decimalnom.

Na primjer, zapišimo broj (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 u decimalnom zapisu, tj. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)